Hur löser man tre

  • Ekvationer uppgifter
  • Vad är en ekvation
  • Ekvationer med x och y

    • •

    Ekvationslösning

    I det här avsnittet bygger vi vidare på vad vi tidigare lärt oss om formler och ekvationer, och går igenom ett antal exempel på hur man löser ekvationer. Allt i följande avsnitt är en repetition, men det är väl värt att gå igenom då det är viktigt att man kan lösa ekvationer. Vi studerar hur en ekvationslösning går till, det vill säga hur man kan räkna ut vilket värde en variabel i en ekvation måste ha för att ekvationen ska stämma.

    Enkla ekvationer

    Vi börjar med att formulera en ekvation utifrån en konkret situation.

    Låt säga att vi har varit i affären och köpt bananer för \(36\) kronor. Vi vet att priset var \(6\) kr per kg, så kan vi räkna ut hur många kilo bananer vi har köpt. Om vi betecknar antalet kilo bananer vi köpt med \(x\), så kan vi ställa upp en ekvation som beskriver förhållandet:

    $$6x=36$$

    Ekvationen ovan kan man alltså tolka så här:
    Vi har köpt \(x\) kg bananer, varje kg bananer kostar \(6\) kr och totalt kostade bananerna \(36\) kr.

    T

    •

    En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.

    Tredjegradsekvationen i allmän form

    $ax^3+bx^2+cx+d=0$3+2++=0

    där  $a$ , $b$ , $c$  och $d$ alla är konstanter.

    Så ser du en ekvation, där $x^3$3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.

    En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.

    Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa.Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla trereella lösninga

    •

    Ekvationssystem

    Lös följande ekvationssystem:

    1.

    $$\left\{\begin{matrix} 3x-y=5\\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$

    2.

    $$\left\{\begin{matrix} y=5x+3\\ y-x=11 \end{matrix}\right.$$

    Lösningsförslag:

    Vi använder oss av insättningsmetoden för att lösa följande ekvationssystem. Insättningsmetoden går ut på att ta en valfri ekvation ur ekvationssystemet som vi använder oss av att för att lösa ut antingen x eller y. Det uttrycket som vi får när vi löser ut x eller y sätter vi in i den andra ekvationen i systemet. Kvar får vi nu en ekvation med en okänd variabel som vi kan lösa. Värdet på den beräknade variabeln sätter vi nu in i valfri ekvation och beräknar värdet på den andra variabeln.

    1. Vi vill lösa följande ekvationssystem:

    $$\left\{\begin{matrix} 3x-y=5\\ x+y=-1 \end{matrix}\right.$$

    Den ekvation som är enklast att använda är den undre ekvationen, där vi vill lösa ut x.

    x + y = -1

    x = -1 -y

    Vi sätter in x i den övre ekvationen

    3x - y = 5

    3(-1 -y) - y = 5

    -3 - 3y -y = 5

    -